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AC⊥BD,证明AB²+BC²+CD²+AD² 为定值

来源:学生作业帮 编辑:夺魁考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2021/12/04 21:00:23
AC⊥BD,证明AB²+BC²+CD²+AD² 为定值
 
AC与BD的交点是不是定点?
再问: 是
再答: 设交点M,圆心为O,圆的半径为r,OM的长为d。
根据勾股定理有:AB^2=AM^2+BM^2;
BC^2=BM^2+CM^2;
CD^2=CM^2+DM^2;
DA^2=DM^2+AM^2。
四式相加得:AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AM^2+CM^2+BM^2+DM^2)
=2[(AC^2)-2AM*CM]+2[(BD^2)-2BM*DM]
=2[(AC^2)+(BD^2)]-4[AM*CM+BM*DM]。
根据相交弦定理有AM*CM=BM*DM=(r+OM)(r-OM)=r^2-OM^2=r^2-d^2为定值;
又分别设圆心O到弦AC,BD的距离为L1,L2。
则AC^2=4[r^2-(L1)^2];BD^2=4[r^2-(L2)^2],
故AC^2+BD^2=4[2r^2-(L1)^2-(L2)^2]。且根据勾股定理得(L1)^2+(L2)^2=OM^2=d^2,
所以AC^2+BD^2=4(2r^2-d^2)为定值;
∴2[(AC^2)+(BD^2)]-4[AM*CM+BM*DM]=2*4(2r^2-d^2)-4*(r^2-d^2)=12r^2-4d^2为一定值。证毕#
再答: 可否采纳?